矩阵等价是什么意思（矩阵等价相似合同三者之间的关系）

矩阵之间有三种关系：

矩阵等价：

矩阵具有相同的秩。

具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解。

矩阵合同：

定义：对同型方阵A、B，存在可逆阵P使得 B=PTAP

矩阵相似:

比等价严苛

定义：对同型方阵A、B，存在可逆阵P，使得 B=P−1AP

三者关系：

等价（只有秩相同）–>合同（秩和正负惯性指数相同）–>相似（秩，正负惯性指数，特征值均相同），矩阵亲密关系的一步步深化。

相似矩阵必为等价矩阵，但等价矩阵未必为相似矩阵

合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵

合同矩阵未必是相似矩阵

相似矩阵未必是合同矩阵

正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵

如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则A与B既相似又合同

下面转载一篇文章，这篇文章对这个问题讲得比较清楚。

由此看到，等价关系可以用来分类。

矩阵的三种关系都属于等价关系。

上面这段话将三种关系的变换说的非常清楚。